بررسی روابط و فرمول های محاسبه طول كمان و مساحت و تابع Arcsine

بررسی روابط و فرمول های محاسبه طول كمان و مساحت و تابع Arcsine
بررسی روابط و فرمول های محاسبه طول كمان و مساحت و تابع Arcsine|30014205|zaranetwork

متن فاقد شکل می باشد.







در مقابل استخراج كردن تعاريف وخصوصيات توابع معكوس تابعarcsine در يك روش بيشتر هندسي ميتواند بدست آيد.از آنجائيكه sin بعنوان مختصات y از نقطه اي روي دايره واحد تعريف شود طول يك كمان بعد از (0و1) يك سوال هندسي براي وارونه كردن اين تابع خواهد پرسيد



مختصات دوم نقطه داده شده y مي باشد طول كمان از كجا مي آيد؟



دو جواب كوچك براي اين سوال وجود دارد. (شكل 3 را ببنيد) وسپس هر كدام با ضرب در 2 بيشتر جدا مي شوند مقدار اصلي تابع sin معكوس ممكن است بطور طبيعي بعنوان كمترين فاصله از نقطه تعيين شده و(0و1) ومعرفي شود كه اين عملي خواهد شد و اين طول كمان ممكن است طول كمان y ناميده و نوشته شود يا sine معكوس y ناميده و نوشته شود.از علامت براي يادآوري اين بحث استفاده خواهيم كرد بنابراين تابع arcsine شامل جايي كه ميباشد.



از آنجائيكه arcsin(y) يك طول كمان است. فرمول طول كمان مي تواند براي از t=y تا t=0 (شكل ها را ببنيد) براي فهميدن اينكه





بكار رود وسپس بوسيله نظريه بنيادي حساب ديفرانسيل وانتگرال به اين صورت ادامه پيدا مي كند كه





از آنجاييكه وهمچنين يك مثال ساده از يك انتگرال نادرست داريم:





در ty معكوس، استدلالي مشابه، يك تابع arctangent توليد مي كند arctg(w)= بامقدار اصلي تا حدي كه arctan (w) فاصله اي درامتداددايره واحد از (0و1) تا نقطه (x,y) بوسيله از آنجاييكه مي توانيم y/x=w براي پيدا كردن حل كنيم از فرمول طول كمان (1) داريم





جايگزين كردن متغير بطوريكه t=0 موقعيكه u=0 و موقعيكه u=w پيدا مي كنيم كه:





براي secant معكوس w (جايي كه ،اگر كوچكترين طول كمان مثبت از (0و1) به نقطه اي با مختصات 1/w جستجو كنيم. يك تابع arcsecant بدست مي آوريم.



با مقدار اصلي براي w>1 طول كمان مي باشد(شكل 5 را ببنيد) بنابراين داريم





و بنابراين







براي w< 1 بواسطه تناسب داريم كه





براي W< 1 بواسطه تناسب داريم كه



براي secant معكوس w (جايي كه اگر كوچكترين طول كمان مثبت از (0و1) به نقطه اي با مختصات 1/w جستجو كنيم يك تابع arcsecant بدست مي آوريم. با مقدار اصلي براي w>1 طول كمان مي باشد (شكل 5 را ببينيد) بنابراين داريم: